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 Sul “logicismo” in matematica

di Michele Marsonet.

Nella filosofia della matematica, la versione moderna del platonismo è il “logicismo” propugnato, tra gli altri, da Bertrand Russell. Il realismo (o platonismo) matematico è una corrente che concepisce gli oggetti matematici come del tutto separati da ogni legame con il soggetto che riflette. Tale tendenza ha radici assai lontane. Nella “Repubblica” Platone sostiene che la matematica è conoscenza di ciò che esiste eternamente, non di qualcosa che viene in essere in un certo momento e cessa di essere in seguito. Georg Cantor, ad esempio, affermò che la sua visione della teoria degli insiemi risaliva proprio a Platone (“l’insieme è qualcosa di simile all’idea platonica”). Anche Frege e Russell furono platonisti, mentre più recentemente il massimo esponente del platonismo matematico è stato Kurt Gödel. Egli sostiene la realtà oggettiva degli enti matematici; classi e concetti possono essere concepiti come oggetti reali: le classi come “pluralità di cose”, e i concetti come proprietà e relazioni tra essi, entrambi esistenti indipendentemente dalle nostre definizioni (contro il nominalismo) e dalle nostre costruzioni (contro l’intuizionismo).
Il nominalismo e il concettualismo hanno entrambi un atteggiamento di parsimonia nei confronti dei problemi dell’esistenza matematica. L’atteggiamento del realismo, al contrario, è un atteggiamento di generosa larghezza, che accetta di buon grado una profusione di entità astratte. Diversamente dal nominalista, il realista non ha pregiudizi discriminanti contro le entità astratte come tali. Diversamente dal concettualista, egli non ritiene che il dominio delle entità astratte sia in alcun modo limitato dalla debole facoltà creatrice della mente, perché pensa che le entità astratte esistano in sé e per sé, e non in quanto “costruite” dalla mente. Il realista crede che esistano in senso letterale tutte le entità di cui gli assiomi e i teoremi della teoria dei numeri parlano. Questo modo di interpretare la teoria dei numeri è il più diretto possibile: tutte le volte che i termini di detta teoria sembrano fare riferimento a entità astratte, debbono venir intesi come se fosse davvero cos. Secondo tale interpretazione, gli assiomi e i teoremi esprimono proposizioni vere.
Dal punto di vista realista, il compito del matematico è quindi paragonabile a un viaggio di esplorazione e di scoperta. Il matematico non può creare o inventare gli oggetti di cui parla, attendendo essi, piuttosto, che egli li scopra e li descriva. Secondo Russell, tutta la conoscenza dev’essere “ricognizione”, e l’aritmetica va scoperta proprio nello stesso senso in cui Colombo scoprì le Indie Occidentali. Inoltre tutto ciò che può venir pensato esiste, e la sua esistenza è una condizione preliminare, non un risultato, dell’essere pensato. Dal punto di vista realista, non sembra dunque esservi alcuna giustificazione per rifiutare le dimostrazioni non costruttive e le definizioni impredicative nei ragionamenti matematici, o per pensare che una proposizione possa non essere vera né falsa (contrariamente alla legge del terzo escluso).
Se i numeri e le altre entità matematiche sono reali indipendentemente da noi, allora tutti gli scrupoli del concettualista risultano vani. Non vi sono obiezioni da fare a proposito dei ragionamenti non costruttivi: una dimostrazione di Cantor riguarda ad esempio un numero reale di cui è impossibile stabilire – in modo completo – la rappresentazione decimale infinitamente estesa. Ma essa è corretta, perché la realtà del numero non dipende dalla nostra capacità di stabilirne completamente la rappresentazione decimale. Cantor ha caratterizzato un numero genuino, anche se non possiamo determinare di quale particolare numero reale si tratti. Analogamente, a proposito delle definizioni impredicative, se riteniamo che gli insiemi esistano per virtù propria, indipendentemente dal nostro pensiero, nel definire un’entità possiamo sentirci liberi di far riferimento a una classe che la contenga. Inoltre, non occorre, né è lecito, negare la legge del terzo escluso.
Di che tipo è la nostra conoscenza dei numeri, secondo il realismo platonista? A tale proposito, il problema diventa assai complicato. Frege, che fu uno dei più chiari e decisi propugnatori del punto di vista realistico-platonista, sostenne che la nostra conoscenza numerica è essenzialmente una questione d’intuizione razionale a priori (e Russell, nel complesso, concordò con tale tesi). Per Frege si tratta di una conoscenza a priori, che viene acquisita mediante l’ “occhio della Ragione”, esaminando le strutture a-temporali del dominio numerico reale. Dunque, detta conoscenza non è analitica nel senso classico del termine; per Frege, cioè, la conoscenza dei numeri non rappresenta essenzialmente un problema di comprensione dei significati delle parole.

Quando egli dice che la Ragione conosce gli oggetti matematici, ciò implica senz’altro il rilevamento di un profondo scarto fra la conoscenza matematica e la comprensione del linguaggio, tale che, anche comprendendo fin che si vuole il discorso sui numeri, se la Ragione fosse offuscata al punto da non intuire le entità numeriche, non se ne conoscerebbero le leggi. La concezione della conoscenza matematica secondo Frege è dunque una nuova versione della vecchia pretesa razionalistica che l’occhio della Ragione possa esplorare l’essenza del reale?
Non completamente. Infatti Frege (seguito poi da Russell) introdusse un’innovazione molto importante nella filosofia del numero. Egli sostenne che tutte le leggi numeriche sono analitiche in un senso diverso, affermando che: “studiando l’aritmetica noi ci occupiamo proprio di oggetti, i quali non si presentano a noi come qualcosa di estraneo, come oggetti conoscibili solo dal di fuori per mezzo dei sensi, ma come oggetti che sono dati direttamente alla nostra ragione, oggetti che essa può scrutare fin nelle più profonde intimità, poiché le appartengono integralmente”.
Frege usa dunque la parola “analitico” in un’accezione diversa. Asserendo che le leggi numeriche sono analitiche, egli sostiene che esse sono “riducibili” alle leggi della logica (intendendo il termine “logica” in senso lato). Così, dire che le leggi numeriche sono analitiche in questo senso è perfettamente compatibile col dire che la nostra conoscenza numerica dipende fondamentalmente dall’intuizione razionale. Tuttavia, deve trattarsi del medesimo genere d’intuizione razionale che assicura la conoscenza delle leggi della logica la quale, secondo il matematico tedesco, costituisce il tipo più chiaro e diretto di questo tipo di intuizione.
L’opinione secondo cui tutte le leggi della matematica numerica sono derivabili dalla sola logica – o sono riducibili ad essa – è diventata celebre, appunto, come “tesi logicista”. Sostenuta per la prima volta da Frege, essa venne poi formulata indipendentemente da Bertrand Russell. In seguito, Whitehead e lo stesso Russell, nella loro monumentale opera “Principia Mathematica”, s’impegnarono a dimostrarla puntualmente. Secondo la tesi logicista, le leggi dell’aritmetica – e l’intera matematica numerica – sono connesse con le leggi della logica, così come i teoremi della geometria sono connessi con i suoi assiomi. Per dimostrare che le cose stanno così, bisogna compiere due passi fondamentali: determinare chiaramente la natura delle leggi della logica, e definire i termini-chiave della teoria dei numeri, onde poterne dedurre le leggi da quelle della logica.
Sarebbe stato fuor di luogo pretenderee di derivare qualsiasi parte della matematica dalla logica aristotelica tradizionale; occorreva, per portare a termine questo compito, un sistema logico assai superiore. Frege, Withehead e Russell hanno assicurato contributi fondamentali all’elaborazione delle leggi di una simile e più potente logica. È essenziale notare che essi, per i loro scopi, considerarono i termini “insieme” e “coppia ordinata”, nonché le leggi concernenti gli insiemi e le coppie ordinate, come appartenenti alla logica, piuttosto che alla matematica.
Frege sostenne la riducibilità solo delle leggi numeriche alla logica. Viceversa la tesi di Whitehead e di Russell risulta più ambiziosa, dato che, secondo loro, tutta la matematica va ridotta alla logica. La geometria dovrebbe essere trattata in termini di geometria analitica, identificando i punti nello spazio con terne di numeri reali, mentre le forme più astratte dell’algebra (che non impiegano numeri) potrebbero venir ricondotte alla logica delle relazioni formalizzata dagli stessi Whitehead e Russell.
Non è un caso che la tesi logicistica sia stata sviluppata dai fautori del realismo come filosofia del numero; infatti, queste due concezioni si accordano naturalmente. E’ senza dubbio possibile accettare la tesi logicista anche non avendo sottoscritto il realismo, o viceversa. Quest’ultimo, però, ha fornito lo stimolo intellettuale che giustifica l’opera di Frege e di Russell, i quali, probabilmente, non avrebbero sviluppato la tesi logicista se fossero stati fautori del nominalismo, del concettualismo kantiano, o di qualche altra forma di filosofia del numero. Essi si ritennero effettivamente impegnati ad esplorare un tipo di realtà astratta, sconosciuta fino a quel momento, e in grado di scoprire che l’ampio dominio della realtà matematica non è altro che una regione del più vasto continente della realtà logica. Questa è indubbiamente una concezione affascinante dal punto di vista filosofico, ma venne ben presto messa in crisi.